Tõenäosusteooria. Sündmuse tõenäosuse, aeg-ajalt sündmus (tõenäosusteooria). Sõltumatu ja vastuolus arenguid Tõenäosusteooria

On ebatõenäoline, et paljud inimesed mõtlevad, kas on võimalik arvutada sündmusi, mis on mingil määral juhuslikud. Lihtsamalt öeldes, kas on tõesti võimalik teada, millist poolt täringus tärnid langevad järgmisel korral. Just see küsimus küsis kahelt suurtelt teadlastelt, kes on alustanud sellist teadust nagu tõenäosusteooria, sündmuse tõenäosust, mida uuritakse üsna ulatuslikult.

Päritolu

Kui me püüame määratleda sellist kontseptsiooni nagu tõenäosusteooria, siis saavutatakse järgmine tulemus: see on üks matemaatika harudest, mis tegelevad juhuslike sündmuste püsivuse uurimisega. On selge, et see mõte ei kajasta tegelikult kogu punkti, seega on seda vaja lähemalt uurida.

Ma tahaksin alustada teooria asutajatega. Nagu eespool mainitud, oli neid kahte, see on Pierre Fermat ja Blaise Pascal. Nad olid üks esimesi, kes kasutasid valemeid ja matemaatilisi arvutusi sündmuse tulemuste arvutamiseks. Üldiselt ilmnesid selle teaduse alused keskajal. Sel ajal proovisid erinevad mõtlejad ja teadlased analüüsida hasartmänge, nagu rulett, luud jne, seeläbi kindlaks konkreetse arvu languse korrektsuse ja protsentuaalse suhte. Vundament asutati juba seitsmeteistkümnendal sajandil just eespool nimetatud teadlaste poolt.

Alguses ei saanud nende teoseid seostada selle valdkonna suurepäraste saavutustega, sest kõik, mida nad tegid, olid lihtsalt empiirilised faktid ja katsed visualiseeriti ilma valemita. Aja jooksul osutusid suurepärased tulemused, mis ilmnesid luude viskamise jälgimise tõttu. See oli see tööriist, mis aitas esimesi arusaadavaid valemeid saada.

Sarnaselt mõtlemisega inimesed

On võimatu rääkimata sellist inimest kui Christian Huygensi teemal "tõenäosusteooria" (sündmuse tõenäosus selles teaduses kajastatud) uurimisel. See inimene on väga huvitav. Tema, nagu ka eespool esitatud teadlased, püüdis juhuslike sündmuste seadusi matemaatiliste valemite kujul välja tuua. On märkimisväärne, et ta ei teinud seda koos Pascal ja Fermat'iga, see tähendab, et kõik tema teosed ei kattu nendega. Huygens tuletas tõenäosusteooria põhimõistetest.

Huvitav on see, et tema teos avaldati ammu enne avastajate tööde tulemust või pigem kahekümne aasta varem. Kõige kuulsamate mõistete seas on:

• Tõenäosuse mõiste kui võimaluse suurus;
• Matemaatiline ootus diskreetsete juhtumite korral;
• Korrutusteooria ja tõenäosuste lisamine.

Samuti on võimatu meenutada Jakob Bernoulli, kes andis olulise panuse ka probleemi uurimisse. Oma iseseisva teostamise käigus suutis iseseisev testimine keegi tõestada suure arvu seadusi. Üheksakümnenda sajandi alguses töötanud Poissoni ja Laplace teadlased suutsid omakorda tõestada esialgseid teoreeme. Sellest hetkest saadi vaatluste käigus vigade analüüsimiseks tõenäosusteooria. Vene teadlased, täpsemalt Markov, Chebyshev ja Diapunov ei suutnud seda teadust mööda minna. Need, tuginedes suurte geeniuste tehtud tööle, fikseerisid selle teema matemaatika osana. Need arvud töötavad 19. sajandi lõpus ja tänu nende panusele on sellised nähtused nagu:

• Suurte seaduste seadus;
• Markovi ahelate teooria;
• Keskmäära teoreem.

Niisiis, teaduse sünni ajalooga ja peamisi inimesi, kes seda mõjutasid, on kõik enam-vähem selged. Nüüd on aeg täpsustada kõiki fakte.

Põhimõisted

Enne seaduste ja teoreemide puudutamist tasub uurida tõenäosusteooria põhimõisteid. Sellel üritusel on domineeriv roll. See teema on üsna mahukas, kuid ilma selleta ei saa te kõik muudki mõista.

Tõenäosusteooria sündmus on Iga kogemuse tulemuste kogum. Selle nähtuse kohta pole nii palju mõtteid. Niisiis, teadlane Lotman, kes selles valdkonnas tegutseb, ütles, et antud juhul on tegemist "juhtus, kuigi see ei saanud juhtuda".

Juhuslikud sündmused (tõenäosusteooria pöörab neile erilist tähelepanu) on mõiste, mis viitab täiesti igale ilmnemisele. Või vastupidi, see stsenaarium ei pruugi juhtuda, kui paljud tingimused on täidetud. Samuti on oluline teada, et juhuslikud sündmused hõlmavad kogu toimunud nähtuste mahtu. Tõenäosusteooria näitab, et kõiki tingimusi saab pidevalt korrata. Nende käitumist kutsuti "kogemuseks" või "testiks".

Teatud sündmus on nähtus, mis täiesti juhtub selles uuringus. Seega on võimatu sündmus, mis ei juhtu.

Mõlema tegevuse ühendamine (tinglikult juhtum A ja juhtum B) on nähtus, mis esineb üheaegselt. Neid tähistatakse kui AB-d.

Ürituste paaride summa A ja B on C, teisisõnu, kui esineb vähemalt üks neist (A või B), siis on tulemus C. Kirjeldatud nähtuse valem on kirjutatud järgmiselt: C = A + B.

Tõenäosusteooriast tulenevad mitte ühised sündmused eeldavad, et kaks juhtumit üksteist vastastikku välistavad. Samal ajal ei saa nad juhtuda mingil juhul. Tõenäosusteooria ühisündmused on nende antipood. Siin tähendab see, et kui A juhtub, siis see ei takista V.

Vastuolulised sündmused (tõenäosusteooria käsitlevad neid üksikasjalikult) on kergesti arusaadavad. Parem on nendega võrdlemine. Need on peaaegu samad kui ebajärjekindlad sündmused tõenäosusteoorias. Kuid nende erinevus seisneb selles, et üks paljudest nähtustest peaks igal juhul esinema.

Sama võimalikud sündmused on need tegevused, mille korratavus on võrdne. Et olla selgem, võite ette kujutada mündi viskamist: ühe selle poole langev kukkumine on tõenäoliselt teise kukkumine.

Soodsat sündmust on näiteks lihtsam kaaluda. Oletame, et seal on episood B ja episood A. Esimene on täringute rull, millel on paaritu arv ja teine on kuubiku viiekordne välimus. Siis selgub, et A on B. jaoks soodne.

Prognoositavad iseseisvad sündmused tõenäosuse teoorias on ainult kahes või enamas juhtudel ja tähendavad mõne teise tegevuse sõltumatust. Näiteks A - sabad visates mündi visates, ja B - saan tekib tekist. Need on sõltumatud sündmused tõenäosusteoorias. Selle hetkega sai selgeks.

Tõenäosusteooriast sõltuvad sündmused on vastuvõetavad ka nende seatud kohta. Nad viitavad teineteise sõltuvusse, st nähtus B võib tekkida ainult siis, kui A on juba toimunud või, vastupidi, ei ole toimunud, kui see on V-i peamine tingimus.

Ühe komponendiga juhusliku katse tulemus on elementaarsed sündmused. Tõenäosusteooria selgitab, et see nähtus on toimunud ainult üks kord.

Põhivalemid

Seega käsitleti mõisteid "sündmus" ja "tõenäosusteooriat" eespool, selle teaduse põhitingimuste määratlemist. Nüüd on aeg tutvuda oluliste valemitega. Need väljundid kinnitavad matemaatiliselt kõiki sellises keerulises tees mainitud põhimõtteid kui tõenäosuse teooriat. Selle sündmuse tõenäosus mängib siin suurt rolli.

Parem on alustada kombinatooriumi põhiliste valemitega. Ja enne kui lähete neile, tasub kaaluda, mis see on.

Kombinatoorika on ennekõike matemaatika haru, see käsitleb suure hulga täisarvude uurimist, samuti numbrite endi, nende elementide, mitmesuguste andmete jne muutusi, mille tulemuseks on mitu kombinatsiooni. Lisaks tõenäosusteooriale on see haru statistikale, infotehnoloogiale ja krüptograafiale oluline.

Nüüd võite jätkata valemite endi ja nende määratluse esitamist.

Esimene neist on permutatsioonide arvu väljendus, see näeb välja selline:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Võrrandit kasutatakse ainult siis, kui elemendid erinevad ainult nende asukoha järjekorras.

Praegu kaalutakse paigutuse valemit, see näeb välja selline:

A_n ^ m = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n-m + 1) = n! : (N - m)!

See väljend kehtib mitte ainult elemendi paigutuse järjekorra, vaid ka selle koostise kohta.

Kombinatoorika kolmandat võrrandit, mis on viimane, nimetatakse kombinatsioonide arvu valemiks:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombineeritud on näidis, mis pole vastavalt tellitud ja seda reeglit nende suhtes kohaldatakse.

Kombinatoorika valemitega oli võimalik ilma raskusteta lahendada, nüüd saame jätkata klassikalist tõenäosuste definitsiooni. See väljend on selline:

P (A) = m: n.

Selles valemis on m tingimuste arv, mis eelistavad sündmust A, ja n on absoluutselt kõigi võrdselt võimalike ja elementaarsete tulemuste arv.

Ilmub palju väljendusi, artikkel ei hõlma kõike, kuid mõjutab kõige olulisemaid, nagu näiteks sündmuste summa tõenäosus:

P (A + B) = P (A) + P (B) on ainult mitteühilduvate sündmuste lisamise teoreem;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - see lisa ainult ühildub.

Ürituse tõenäosus:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) on sõltumatute sündmuste teoreem;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅P (A, B)) ja seda sõltuvate jaoks.

Lõpeta sündmuste valemite loend. Tõenäosusteooria räägib meile teoreemi kohta Bayes, mis näeb välja selline:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) n n P (H_k) P (AHH_k)), m = 1, N

Selles valemis H ₁ , H ₂ , ..., H _n on hüpoteeside täielik komplekt.

Pidame me selle üle, kaalume veel näiteid konkreetsete probleemide praktikale lahenduste kohta.

Näited

Kui te hoolikalt uurite mõnda matemaatikavaldkonda, ei teosta seda harjutusteta ja prooviväliseid lahendusi. Nii et tõenäosusteooria: sündmused, näited siin on lahutamatu osa, mis kinnitab teaduslikke arvutusi.

Permutatsioonide arvu valem

Ütleme, et kaartide tekil on kolmkümmend kaarti, alustades ühe nimiväärtusest. Järgmine küsimus. Kui paljudel viisidel on teeke voldid, nii et üksteise ja kahe nimiväärtusega kaardid ei paikneks kõrvuti?

Ülesanne on seadistatud, nüüd läheme selle lahenduseni. Esiteks peame kindlaks määrama 30 elemendi vaheliste permutatsioonide arvu, selleks võtame ülaltoodud valemi, saame P_30 = 30!.

Selle reegli alusel õpime, kuidas mitmel variandil on teekat üles mitmekesistada, kuid peame neist lahutama need, kus esimene ja teine kaart asuvad järgmisena. Selleks alustame valikuga, kui esimene on teineteise kohal. Selgub, et esimene kaart võib võtta kahekümmend üheksa koha - esimesest kuni kahekümne üheksandani ja teine kaart teisest kuni 30. sajani saate kaartide paariks ainult kahekümne üheksa kohta. Omakorda ülejäänud võib võtta kahekümne kaheksa koha ja suvalises järjekorras. See tähendab, et kahekümne kaheksa kaardi vahetamisel on kakskümmend kaheksa varianti P_28 = 28!

Lõppkokkuvõttes selgub, et kui me kaalume lahendust, kui esimene kaart ületab teise, on lisavõimalused 29 ⋅ 28! = 29!

Sama meetodi abil tuleb teil arvutada üleliigsete valikute arv juhul, kui esimene kaart on teise all. Selgub ka 29 ⋅ 28! = 29!

Sellest järeldub, et lisavõimalused 2 ⋅ 29!, Samas kui vajalik on teeki kogumiseks 30! - 2 ⋅ 29!. Jääb ainult loota.

30! = 29! ⋅ 30; 30! - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nüüd peame korrutama kõik numbrid ühest kuni kahekümne üheksani, siis korruta kõik 28 võrra. Lõppkokkuvõttes saadakse 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Näite lahendus. Paigutuste arvu valem

Selles ülesandes on vaja välja selgitada, mitu võimalust on ühele riiulile panna viiskümmend mahtu, kuid tingimusel, et kõik mahud on kolmkümmend.

Selles probleemis on lahendus veidi lihtsam kui eelmises. Kasutades juba tuntud valemit, on vaja arvutada korralduste koguarvust kolmekümne mahuni viieteistkümnele.

A_30 ^ 15 = 30⋅29 · 28⋅ ... · (30-15 + 1) = 30 · 29 · 28 · ... · 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Vastus vastavalt on 202 843 204 931 727 360 000.

Nüüd võtame ülesande veidi keerulisemaks. On vaja välja selgitada, kuidas mitmel viisil paigutada kolmekümne raamatu kahele raamaturiiulile tingimusel, et ühel riiulil saab olla ainult viisteist mahtu.

Enne lahenduse alustamist tahaksin selgitada, et mõned probleemid lahendatakse mitmel viisil, seega on selles kaks võimalust, kuid mõlemad kasutavad sama valemit.

Selles ülesandes võime vastata eelmisele, sest me arvutasime, mitu korda on viisteist raamatu riiulit võimalik täita erineval viisil. Selgus, et A_30 ^ 15 = 30 · 29 · 28 · ... · (30 - 15 + 1) = 30 · 29 · 28 · ... · 16.

Teine riiul arvutatakse vastavalt permutatsiooni valemile, kuna seal pannakse 15 raamatu, kusjuures jääb ainult viisteist raamatut. Me kasutame valemit P_15 = 15!.

Selgub, et summa on A_30 ^ 15 ⋅ P_15 viis, kuid peale selle tuleb kõigi numbritega kolmkümmend kuueteistkümneni korrutada numbritega ühest kuni viieteistkümneni, lõpuks saadame kõigi numbritega ühe kuni kolmkümmend, see tähendab vastus On võrdne 30!

Kuid seda ülesannet saab lahendada muul viisil - see on lihtsam. Selleks võite ette kujutada, et on kolm riiulit kolmekümne raamatu jaoks. Kõik need asetsevad sellel tasapinnal, kuid kuna tingimus nõuab, et on kaks riiulit, siis lõigame ühe pika saia pooleks, saame kaks viiendikku. Sellest järeldub, et kokkuleppe variandid võivad olla P_30 = 30!.

Näite lahendus. Kombinatsiooninumbri valem

Nüüd kaalume kombinatooriumi kolmanda probleemi varianti. On vaja välja selgitada, mitu viisi on korraldada viisteist raamatut, tingimusel, et peate valima kolmkümmend absoluutselt identset.

Lahenduseks kasutatakse loomulikult kombinatsioonide arvu valemit. Olukorrast selgub, et identsete viisteist raamatu järjekord ei ole oluline. Seetõttu on esialgu vaja teada kolmekümne raamatu kombinatsioonide koguarvut viieteistkümneks.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

See on kõik. Selle valemi kasutamisel oli probleemi võimalikult lühikeseks ajaks vastuseks vastavalt 155 117 520.

Näite lahendus. Klassikaline tõenäosuse definitsioon

Eespool toodud valemi abil leiate vastuse lihtsas ülesandes. Kuid see aitab visuaalselt näha ja järgida tegevuse suunda.

Probleemina on antud, et urnis on kümme absoluutselt identset palli. Neist neli on kollane ja kuus on sinist värvi. Üks urn on võetud urnist. Sa pead teadma, et sinine on tõenäoline.

Probleemi lahendamiseks on vaja määrata sinise palli saamine sündmuse A kaudu. Sellel kogemusel võib olla kümme tulemust, mis omakorda on elementaalsed ja võrdselt võimalikud. Samal ajal on kümnest kümnest kuus sündmusest A. Soodus on valem:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Rakendades seda valemit, me oleme õppinud, et võimalus dostavaniya sinine pall on 0,6.

Lahenduste näiteid. Tõenäosus sündmuste summa

Kes variant, mis on lahendatud kasutades valemit sündmuste tõenäosust summa. Niisiis, antud tingimusel, et on kaks juhtumit, millest esimene on hall ja viis valget palli, samas kui teine - kaheksa halli ja neli valget palli. Selle tulemusena esimese ja teise kastid on võtnud üks neist. On vaja teada, millised on võimalused, et puudus pallid on hall ja valge.

Selle probleemi lahendamiseks on vaja selgitada korral.

• Seega - meil on halli palli esimese kasti: P (A) = 1/6.
• A '- valge pirn samuti võetud esimesse kasti: P (A') = 5/6.
• The - juba ekstraheeriti halli palli teise kanalisse: P (B) = 2/3.
• B "- võttis halli palli teise sahtli: P (B) = 1/3.

Vastavalt probleemile on vaja, et üks nähtusi juhtus: AB "või" B. Kasutades valemit, saame: P (AB) = 18/01, P-alaninaat (A'b) = 10/18.

Nüüd valem korrutades tõenäosus kasutati. Järgmine, et teada saada vastust, teil on vaja kohaldada nende võrrandi lisades:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB) + P (A'B) = 11/18.

See, kuidas, kasutades valemit saab lahendada selliseid probleeme.

tulemus

Paber oli esitatud teave "Tõenäosusteooria" sündmuste tõenäosust, mis mängivad olulist rolli. Muidugi, kõik ei ole peetud, kuid teksti põhjal esitatakse, saate teoreetiliselt saada tuttavaks selle filiaali matemaatika. Peetakse teaduse võib olla kasulik mitte ainult professionaalne äri, vaid ka igapäevaelus. Võite kasutada seda arvutada võimaliku sündmuse.

Teksti mõjutab ka märkimisväärne kuupäevad ajaloo areng Tõenäosusteooria kui teaduse ja inimeste nimed, kelle töid on pannakse ta. See, kuidas inimese uudishimu on viinud asjaolu, et inimesed on õppinud lugema, isegi juhuslikult. Kui nad on lihtsalt huvitatud sellest, kuid täna on juba teada, et kõik. Ja keegi ei saa öelda, mis juhtub meiega tulevikus, mida teised geniaalne avastused seotud teooria vaadeldava oleks võtnud. Aga üks asi on kindel - uuringu veel ei ole seda väärt!