Geomeetrilises progressioonis ja selle omadusi

Geomeetrilises progressioonis on oluline matemaatika kui teaduse ja rakendatud olulisuse, sest see on äärmiselt lai ulatus, isegi kõrgem matemaatika, näiteks teooria seeria. Esimene teavet edusammude tuli meile Vana-Egiptuse, eriti kujul tuntud probleem Rhind papüürus seitse inimest seitsme kassid. Variatsioonid selle ülesande korrati mitu korda erinevatel aegadel teistele rahvastele. Isegi Veliki Leonardo Pizansky, mida tuntakse Fibonacci (XIII saj.), Kõneles oma "Book of the Abacus".

Nii et geomeetrilises progressioonis on iidne ajalugu. See kujutab endast numbrijada nullist erineva esimese liikme ja iga järgnev, alates teisest määratakse kindlaks, korrutades eelmise kordumise valemiga ühtlasel nullist erineva arvu, mida nimetatakse nimetajaks progresseerumist (see tavaliselt tähistatakse lehe täht q).
Ilmselt võib leida jagades iga järgneva jada eelmisele, st z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Järelikult enamiku töökohtade progresseerumist (zn) piisav, et ta teab väärtus esimene liige nimetaja ja y 1 q.

Näiteks oletame, z 1 = 7, q = - 4 (q <0), siis järgmine geomeetrilises progressioonis saadakse 7-28, 112-448, .... Nagu näete, saadud järjestus ei ole monotoonne.

Tuletame meelde, et suvaline järjestus monotoonne (kasvav / kahanev) kui üks selle liikmetest jälgida rohkem / vähem kui eelmine. Näiteks jada 2, 5, 9, ... ning -10, -100, -1000, ... - monotoonseid, teine - vähenevas geomeetrilises progressioonis.

Juhul kui q = 1, kõik liikmed on osutunud ning seda nimetatakse konstantset progresseerumist.

Järjestus oli progresseerumist seda tüüpi, siis peavad vastama järgmistele vajalik ja piisav tingimus, nimelt: alates teisest Kõik liikmed peaksid olema geomeetriline keskmine naabruses kohal.

Seda omadust lahtrisse teatavatel kahe külgneva leid meelevaldne termin progresseerumist.

n-nda Termin eksponentsiaalselt kergesti leitav valemiga: zn = z 1 * q ^ (n-1), z teades esimesele liikmele 1 ja nimetaja q.

Kuna arvude jada on summa, siis paar lihtsaid arvutusi meile valemiga arvutada summa esimene progresseerumise liiget, sealhulgas

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Asendades valemis selle ekspressiooni väärtus zn z 1 * q ^ (n-1), et saada teine summa valemiga progressiooni: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Väärib tähelepanu järgmised huvitav fakt: savi tablett leitud kaevamistel iidse Babüloni mis viitab VI. BC sisaldab tähelepanuväärne viis summa 1 + 2 + ... + 22 + 29 võrdne 2 kümnendat võimsus miinus 1. selgitus selle nähtuse ei ole veel leitud.

Märgime üks omadusi geomeetrilises progressioonis - pidev töö oma liikmete vahedega võrdsetele kaugustele otsad jada.

Eriti tähtis on teaduslikust seisukohast, selline asi nagu lõpmatu geomeetrilise progressiooni ja arvutamise oma summa. Eeldades, et (ün) - geomeetrilises progressioonis võttes nimetaja q, vasta seisukorras | q | <1, selle summa nimetatud piirmäära, mille poole me juba teame summa oma esimese liiget, ääretu kasv n, siis on seda läheneb lõpmatusele.

Selle summa tulemusena, kasutades valemit:

S n = y 1 / (1- q).

Ja nagu kogemused on näidanud, et ilmse lihtsuse käesoleva progresseerumist on peidetud suur rakendus potentsiaali. Näiteks kui loome järjestuse ruutude vastavalt järgmisele algoritmi, mis ühendavad keskpunktid eelmisega, siis nad moodustavad ruudu lõpmatu geomeetrilises progressioonis, mille nimetaja 1/2. Sama progresseerumise kaudu ala kolmnurgad, mis saadakse igal etapil ehitus ja selle summa on võrdne alaga algse ruut.